3.2 - Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel

A forma mais simples de se determinar a matriz H, a partir do sistema Ax = b é a seguinte:

Seja A a matriz do sistema, da forma

A = (3.3)

Vamos supor que A foi reordenada de modo que todos os seus elementos da diagonal sejam não-nulos:
.
Vamos então tirar o valor de cada xi na i-ésima equação (i = 1, 2, . . ., n). Como assumimos que aii é não nulo, podemos escrever:

Se considerarmos o lado esquerdo do sistema como os elementos de um novo passo de iteração (k+1) e os elementos do lado direito como elementos do passo anterior (k), teremos:

e então:

representam os dois vetores que aproximam a solução do sistema, respectivamente na iteração k+1 e k. K é um vetor constante da forma K = ( b1 / a11 b2 / a22 . . . bn / ann) e J é a matriz que define o processo iterativo. Neste caso, esse processo é o chamado Método Iterativo de Jacobi e, por isso, a matriz J é chamada de Matriz de Iteração de Jacobi e tem a forma

J = (3.5)

Veja o método de Jacobi em acao:

Exemplo 3.1

Vamos resolver o sistema :

2.x1 + x2 = 5

x1+ 2.x2 = 4

Tiramos inicialmente o valor de x1 na primeira equação e de x2 na segunda equação:

 x1 = (5/2) - (1/2) x2          x1= 0.x1   - (1/2).x2  + 5
{                       ou     {                                  (3.6)
 x2 = 2 - (1/2) x1              x2 = - (1/2).x1  + 0.x2 + 2

Assim escrevemos o sistema na forma matricial X = J X + C , onde:

X = , J = , C =

Agora façamos o seguinte:

1. Chamamos de e as aproximações iniciais (arbitrárias, como vamos ver posteriormente) das componentes de X, ou seja, definimos um vetor :

2. Aplicamos do lado direito do sistema (3.6) obtendo um novo valor para x1 e x2. Digamos que escolhemos = = 0; assim obtemos os valores:

3. Usamos estes valores novamente no sistema (3.6) obtendo os valores:

4. O próximo passo será:

5. Para os demais:

etc...

Como vemos, o valor das componentes de X(i) vão se aproximando da solução exata,
x1 = 2 e x2 = 1, na medida em que vamos calculando novas iterações. Como já dissemos anteriormente, esse método é chamado Método Iterativo de Jacobi e a matriz J é a sua matriz de iteração.

Podemos, entretanto, introduzir uma variação na escolha dos índices (k) e (k+1), caracterizando um novo processo iterativo. Com o intuito de aproveitar os valores já encontrados em em passo da iteração, faremos a seguinte modificação no método de Jacobi:

vemos que ao calcularmos o valor x2(1) na primeira iteração, dispomos do valor x1(1) que já foi calculado antes e que, assim, poderá ser usado no lugar de x1(0). Analogamente, no cáculo de x3(3) temos os valores de x1(2) e x2(2) que poderão ser usados. E assim por diante.

Com esta modificação introduzida, temos o Método Iterativo de Gauss-Seidel. Então, para qualquer iteração o sistema (3.4) ficará:

Nesse caso a matriz de iteração será obtida substituindo-se diretamente os valores que vão sendo calculados, isto é, depois do cálculo de x1(1) substituimos esse valor na avaliação de x2(1); em seguida, na avaliação de x3(1) já podemos usar esses valores que já foram atualizados, x1(1) e x2(1). Assim, vamos atualizando os valores obtidos, durante o próprio passo da iteração. Isso significa que não damos um passo completo com os valores (k) do passo anterior, como no Método de Jacobi e sim, vamos usando as modificações feitas imediatamente. Deste modo, temos:

Vejamos, com um exemplo simples, a forma da matriz desse método iterativo.

Exemplo 3.2

Para o sistema :

2.x1 + x2 = 5

x1 + 2.x2 = 4

separamos as variáveis x1 e x2 da seguinte forma:

x1 = 5/2 - 1/2.x2

x2 = 2 - 1/2.x1

escolhemos os índices da iteração k e k+1:

Então, a matriz de Gauss-Seidel (R1) é obtida desse sistema, observando-se que devemos ter :


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