1. Sejam P₁, P₂ e P₃ três problemas tais que P₁ a_n P₂ a_n³logn P₃ (i.e., P₁ é redutível a P₂ em tempo linear e P₂ a P₃ em tempo n³ log n). Assuma a hipótese de que P₁ é W(n log n). Assuma também que você conhece um algoritmo O (n³) para resolver P₃. Discuta as afirmaoeabaixo.
   1. O que você pode dizer sobre a complexidade de resolução de P₂ ? Qual a complexidade do melhor algoritmo que você conhece para P₂ ?
   2. Todo algoritmo que resolve P₂ tem que gastar pelo menos tempo quadrático (P₂ é W(n²)).
   3. W(n log n) é um limite inferior para a complexidade de P₃.
   4. P₂ pode ser resolvido no pior caso em tempo O(n log n).
   
   
2. Sejam P₁ e P₂ dois problemas tais que P₁ a_2ⁿ P₂. Assuma a hipótese de que P₁ Î NP-completo. Assuma também que você conhece um algoritmo O (n³) para resolver P₂. Discuta as afirmações abaixo.
   1. P₂ Î NP-completo.
   2. P₁ tem algoritmo polinomial para a sua resolução.
   3. Somente algoritmos de complexidade exponencial resolvem P₁.
   4. Somente algoritmos de complexidade exponencial resolvem P₂.
   
   
3. Defina as classes de problemas P, NP e NP-completo Relacione estas classes e dê um exemplo de problema para cada classe.
   
   
4. Seja P o conjunto dos problemas para os quais existem algoritmos determinísticos polinomias para a sua resolução . Seja NP o conjunto dos problemas para os quais existem algoritmos não-determinísticos polinomias para a sua resolução . Naturalmente P está contido em NP. Considere os problemas P₁ Î P e P₂ Î NP-completo. Indique se cada afirmação abaixo é verdadeira, falsa ou se não se sabe.
   1. Conhece-se uma redução de P₁ para P₂ que toma tempo polinomial (O(n^k)).
   2. Se existe um algoritmo determinístico polinomial para a resolução de P₂ então podemos afirmar que P₁ Î NP-completo assim como P₂ Î P.
   3. P₂ é pelo menos tão difícil quanto 3-SAT.
   4. 3-SAT é pelo menos tão difícil quanto P₂.
   5. Conhece-se uma redução de P₂ para P₁ que toma tempo polinomial.
   
   
5. Sabe-se que o problema (MC), abaixo, pertence a NP-completo. Use este conhecimento para provar que (MSS) também pertence a NP-completo.
   
   Clique-Máximo (MC) - Dado um grafo não-orientado G=(V,A) e uma constante K. Pergunta-se se este grafo G possui um clique (isto é um sub-grafo completo) de cardinalidade maior ou igual à K.
   
   Estável-Máximo (MSS) - Dado um grafo não-orientado G=(V,A) e uma constante K. Pergunta-se se este grafo G possui um conjunto de vértices independentes (isto é, um conjunto de vértices onde não existe aresta entre nenhum par do conjunto) de cardinalidade maior ou igual à K.
   
   (Dica: Siga os passos para provar que um problema é NP-completo. A redução pedida aqui é muito, mas muito simples. Leia com cuidado e desenhe exemplos dos problemas).
   
   
6. Prove que os problemas abaixo pertencem à NP. Em seguida, apresente uma relaxação (aceitável, a melhor que você pode conseguir) e calculável em tempo polinomial para as versões de otimização de cada um deles.
   
   
   1. Árvore Geradora Mínima com restrição de Grau (AGG) - Dado um grafo não-orientado G=(V,E), pesos w_e Î E e constantes K e C.
      
      Pergunta-se se este grafo G possui uma árvore geradora cujo grau em nenhum dos vértices seja superior a K e cuja soma dos pesos das arestas nesta árvore seja no máximo C.
      
      (minimize C)
      
      
   2. Clique-Máximo (MC) - Dado um grafo não-orientado G=(V,A) e uma constante K. Pergunta-se se este grafo G possui um clique (isto é um sub-grafo completo) de cardinalidade maior ou igual à K.
      
      (maximize K)
      
      
   3. (MS): Dados um conjunto de máquinas M={ m₁, m₂, ..., m_p} e um conjunto de tarefas T={ t₁, t₂, ...,t_q} cada uma com uma duração d_i Î Z, i=1,...,q onde d_i associada e uma constante K. Considerando-se que as tarefas podem ser atribuídas à qualquer máquina indistintamente. Pergunta-se se existe uma atribuição das tarefas às p máquinas tal que o instante em que a última tarefa é terminada é menor ou igual que K (Isto é, a duração total é inferior ou igual a K).
      
      (minimize K)
   
   
7. Considere a multiplicação de n matrizes A₁, ..., A_n. Considere também que denota-se o produto das matrizes A_k.A_k+1..... A_q por A_k..q e que as dimensões das matrizes são dadas por d_k × d_k+1 para a matriz A_k. Assim, A_1..n terá dimensão d₁ × d_n+1.
   
   Aqui a multiplicação de pares consecutivos de matrizes A_k.A_k+1 é feita calculando

   ai,jk..k+1 =

   dk+1 å p=1

   ai,pk.ap,jk+1

   para todo par (i,j) que é elemento de A_k.A_k+1 e onde a_i,j^k representa o elemento (i,j) da matriz A_k.
   
   Observe que a multiplicação de 3 matrizes A₁, A₂ e A₃, pode ser feita de duas manieras: ((A₁.A₂). A₃) e (A₁.(A₂.A₃)). (De quantas maneiras pode-se obter o produto de n matrizes ?)
   
   Observe também que para cada maneira de se multiplicar n matrizes pode-se ter que realizar um número diferente de multiplicações. Quantas são ?
   
   Apresente um algoritmo para determinar a maneira de se multiplicar as n matrizes que utiliza o menor número de multiplicações. Analise a complexidade do algoritmo proposto. A complexidade é polinomial ? Qual a complexidade menor possível que um algoritmo que resolve este problema pode ter ?
   
   
8. Um comerciante possui um armazém que utiliza para suprir seus clientes de um único produto. O seu armazém pode guardar até C unidades do produto. Para as próximas T semanas o comerciante TEM que atender às demandas dos seus clientes que somam d_t para a semana t, onde t=1,2,...,T. Além disso, ele possui s₀(£ C) unidades em estoque antes do início da primeira semana, e já negociou com os fornecedores os preços unitários p_t (t=1,2,...,T). Ele deseja planejar o atendimento dos seus clientes de modo a gastar o mínimo possível com a compra do produto.
   
   Ajude ao comerciante a definir a sua estratégia ótima de compra do produto nas semanas t=1,..., T.
   1. Apresente o algoritmo que obtém a estratégia de compra de menor custo e atende às demandas dos seus clientes.
   2. Analise a complexidade do algoritmo proposto. A complexidade é polinomial ? Qual a complexidade menor possível que um algoritmo que resolve este problema pode ter ?
   3. Execute o seu algoritmo sobre a seguinte instância: C=12, T=5,s₀ = 3, d₁ = 7, d₂ = 4, d₃ = 15, d₄ = 10, d₅ = 7 e p₁ = 3, p₂ = 4, p₃ = 7, p₄ = 6, p₅ = 8. Informe quanto o comerciante deve comprar em cada semana e o seu custo total.
   
   
9. Considere um tabuleiro de xadrez e um rei que está inicialmente na posição (1,1) (as posições do tabuleiro são representadas por (i,j) onde 1 £ i £ 8 e 1 £ j £ 8). Para cada posição do tabuleiro estão associados um prêmio p_ij e um consumo q_ij (o prêmio pode ser em USD(!!) e o consumo em litros de gasolina, por exemplo). Os prêmios e os consumos assumem somente valores positivos. O rei tem inicialmente Q unidades para consumir e pode passar quantas vezes quiser em cada posição do tabuleiro e a cada vez receber o prêmio e, naturalmente, consumir os seus recursos. Ao final (do passeio) o rei tem que estar de volta na posição (1,1).
   1. Proponha um algoritmo para determinar o caminho que o rei deve fazer para obter o maior total possível em prêmios.
      
      (Dica: Suponha que você conhece a solução que obtém o maior total em prêmios dado que o rei está em cada uma das posições do tabuleiro e para cada consumo possível. Escreva agora o teorema do passo indutivo reforçando a hipótese indutiva. A prova por indução matemática (simples) de que você sabe resolver o problema do rei leva ao algoritmo).
      
      
   2. Analise a complexidade do algoritmo proposto. A complexidade é polinomial ? Qual a complexidade menor possível que um algoritmo que resolve este problema pode ter ? Qual a complexidade deste problema ?
      
      
   3. Suponha que Q = 7 e que q_ij = 1 e p_ij = 2*i + 3*j para todo (i,j). Determine o caminho em que o rei acumula o maior total possível de prêmios. Repita o cálculo modificando apenas p₂₂ = 100 e mantendo os demais valores.
   
   
10. Sejam T = { t₁, ..., t_n } e P = { p₁, ..., p_k } duas sequências de caracteres on k £ n.
    
    
    1. Proponha um algoritmo linear para determinar se P é uma subsequência de T, isto é, se os elementos de P aparecem em T na mesma ordem que em P, mas não necessariamente consecutivos.
       
       
    2. Suponha que a resposta do item anterior é negativa. Proponha um algoritmo para encontrar a maior subsequência de P que está em T.
       
       
    3. Considere que para cada elemento de T é associado um custo positivo c_i, i=1,...,n. Proponha um algoritmo para encontrar a subsequência de P que é subsequência de T onde a soma dos custos dos elementos de T é maximizada.
       
       
    4. Analise a complexidade dos algoritmos propostos. Qual a complexidade menor possível de um algoritmo que resolve estes problemas ?

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