1. Sejam P₁, P₂ e P₃ três problemas tais que P₁ a_n P₂ a_n³logn P₃ (i.e., P₁ é redutível a P₂ em tempo linear e P₂ a P₃ em tempo n³ log n). Assuma a hipótese de que P₁ é W(n log n). Assuma também que você conhece um algoritmo O (n³) para resolver P₃. Discuta as afirmações abaixo.
   1. O que você pode dizer sobre a complexidade de resolução de P₂ ? Qual a complexidade do melhor algoritmo que você conhece para P₂ ?
   2. Todo algoritmo que resolve P₂ tem que gastar pelo menos tempo quadrático (P₂ é W(n²)).
   3. W(n log n) é um limite inferior para a complexidade de P₃.
   4. Todo algoritmo que resolve P₁ pode ser usado para resolver P₂.
   5. Todo algoritmo que resolve P₃ pode ser usado para resolver P₂.
   6. P₂ pode ser resolvido no pior caso em tempo O(n log n).
   
   
2. Defina as classes de problemas P, NP e NP-completo Relacione estas classes e dê um exemplo de problema para cada classe.
   
   
3. Seja P o conjunto dos problemas para os quais existem algoritmos determinísticos polinomias para a sua resolução. Seja NP o conjunto dos problemas para os quais existem algoritmos não-determinísticos polinomias para a sua resolução. Naturalmente P está contido em NP. Considere os problemas P₁ Î P e P₂ Î NP-completo. Indique se cada afirmação abaixo é verdadeira, falsa ou se não se sabe.
   1. Conhece-se uma redução de P₁ para P₂ que toma tempo polinomial (O(n^k)).
   2. Se existe um algoritmo determinístico polinomial para a resolução de P₂ então podemos afirmar que P₁ Î NP-completo assim como P₂ Î P.
   3. P₂ é pelo menos tão difícil quanto 3-SAT.
   4. 3-SAT é pelo menos tão difícil quanto P₂.
   5. Existe uma redução de P₂ para P₁ que toma tempo polinomial.
   
   
   
   
   
   
   
   
4. Dado que você conhece um algoritmo determinístico polinomial para a resolução do problema (CMC) abaixo, USE ESTE CONHECIMENTO para provar que você também conhece um algoritmo determinístico polinomial para a resolução do problema (VMC) apresentado em seguida.
   
   (CMC) Dado um grafo orientado G=(V,A) com comprimentos positivos associados aos arcos (i,j) Î A, dois vértices i,j Î V e uma constante K. Pergunta-se se existe uma caminho do vértice i ao vértice j que possua comprimento menor ou igual à K.
   
   (VMC) Dado um grafo orientado G=(V,A), com comprimentos positivos associados aos arcos (i,j) Î A, e uma constante K. Pergunta-se se existe um par de vértices (i,j) para o qual exista um caminho de i a j e de j a i que tenha comprimento menor ou igual à K.
   
   
5. Sabe-se que o problema (MC), abaixo, pertence a NP-completo. Use este conhecimento para provar que (MS) também pertence a NP-completo.
   
   Clique-Máximo (MC) - Dado um grafo não-orientado G=(V,A) e uma constante K. Pergunta-se se este grafo G possui um clique (isto é um sub-grafo completo) de cardinalidade maior ou igual à K.
   
   Estável-Máximo (MS) - Dado um grafo não-orientado G=(V,A) e uma constante K. Pergunta-se se este grafo G possui um conjunto de vértices independentes (isto é, um conjunto de vértices onde não existe aresta entre nenhum par do conjunto) de cardinalidade maior ou igual à K.
   
   (Dica: Siga os passos para provar que um problema é NP-completo. A redução pedida aqui é muito, mas muito simples. Leia com cuidado e desenhe exemplos dos problemas).
   
   
6. Considere o problema abaixo:
   
   (MS): Dados um conjunto de máquinas M={ m₁, m₂, ..., m_p} e um conjunto de tarefas T={ t₁, t₂, ...,t_q} cada uma com uma duração d_i, i=1,...,q associada e uma constante K. Considerando-se que as tarefas podem ser atribuídas à qualquer máquina indistintamente. Pergunta-se se existe uma atribuição das tarefas às p máquinas tal que o instante em que a última tarefa é terminada é menor ou igual que K (Isto é, a duração total é inferior ou igual a K).
   
   Dado que este problema pertence a NP-completo responda:
   1. Quando temos um algoritmo polinomial determinístico para resolvê-lo ?
   2. Proponha um algoritmo para resolver este problema em tempo polinomial.
   3. Em que casos a solução obtida pelo seu algoritmo é correta ?
   4. Descreva um algoritmo que encontre sempre a resposta correta para este problema.
   
   
7. Sabe-se que o problema (CH), abaixo, pertence a NP-completo. Use este conhecimento para provar que (AGG) também pertence a NP-completo.
   
   Caminho Hamiltoniano (CH) - Dado um grafo não-orientado G=(V,A). Pergunta-se se este grafo G possui um caminho Hamiltoniano (isto é um caminho que começa em algum vértice, e passa exatamente uma vez em cada vértice do grafo, terminando em algum outro vértice qualquer).
   
   Árvore Geradora com restrição de Grau (AGG) - Dado um grafo não-orientado G=(V,A) e uma constante K.
   
   Pergunta-se se este grafo G possui uma árvore geradora (uma árvore que conecta todos os vértices do grafo) cujo grau (na árvore) em nenhum dos vértices seja superior a K.
   
   (Dica: Siga os passos para provar que um problema é NP-completo. Prove que (AGG) pertence a NP e em seguida use (CH) para mostrar que todos os problemas em NP se transformam em (AGG). Na transformação você deve mostrar que a resposta sim para o problema (CH) acontece se e somente se acontece a resposta sim na instância obtida pela transformação do problema (AGG). Não esqueça de explicitar as complexidades dos algoritmos de verificação e de transformação).
   
   
8. Seja G=(V,E) um grafo não-orientado. Considere a seguinte função que leva um subconjunto S de V em um valor real: f(S) = |S| - 2 |E(S)|, onde E(S) é o conjunto das arestas de G=(V,E) que tem as duas extremidades em S. Podemos agora enunciar o problema: Conjunto Independente Máximo (MAXSS) - Dado um grafo não-orientado G=(V,E). Encontrar S^* tal que " S Í V,
   f(S^*) ³ f(S), onde f(S) = |S| - 2 |E(S)|.
   
   Algoritmo Constroi I
   • Passo 0: Inicialização
     
     S ¬ Ø
     
     
   • Passo 1: Iteração
     • Para v=1 até |V| e v Î V - S faça
       • Se f(S È { v }) > f(S) entao
         
         S ¬ S È { v };
       
       
   
   Algoritmo Constroi II
   • Passo 0: Inicialização
     
     S ¬ Ø
     
     
   • Passo 1: Iteração
     • mingrau = |V|; v_min = -1
     • Para v=1 até |V| e v Î V - S faça
       • Se grau( v ) < mingrau entao
         
         mingrau = grau(v); v_min = v ;
       
       
     
     
   • Passo 2: Atualização
     • Se v_min ¹ -1 e f(S È { v_min }) > f(S) entao
       
       S ¬ S È { v_min}; Volte ao Passo 1;
     
     
   
   
   1. Escreva um algoritmo que enumere todos os subconjuntos S de V e encontre S^*. Analise sua complexidade.
   2. Escreva um algoritmo que enumere todos os subconjuntos S de V que não possuem arestas ligando dois dos seus elementos, e encontre S^*. Analise sua complexidade.
   3. Analise a complexidade do algoritmos I e II acima.
   4. Aplique os 4 algoritmos acima no grafo G=(V,E) onde V={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } e E={ (1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (2,5), (2,7), (3,4), (3,6), (4,6), (4,8), (5,6), (5,7) }.
   5. Explicite no algoritmo I o cálculo do valor da função f(S). Descreva as estruturas de dados utilizadas e analise a complexidade do algoritmo resultante. Repita a análise para o algoritmo II.
   6. Seria interessante o algoritmo I gerar soluções tomando decisões aleatorizadas ? Como isso seria feito ? E para o algoritmo II ?
   7. O que é busca local ? Proponha um algoritmo de busca local para melhorar a solução S obtida pelos algoritmos I e II. Analise sua complexidade e aplique nas soluções obtidas para o grafo acima.
   8. Compare as soluções obtidas pelos algoritmos enumerativos e os algoritmos I e II.
   
   
9. Seja o Problema do Caixeiro Viajante(TSP):
   
   (TSP): Dado um grafo completo G=(V, E), custos c(i,j) ³ 0 associadas às arestas (i,j) em E. Deseja-se encontrar uma sequência de visitação dos vértices de G iniciando e terminando em um mesmo vértice (1), e passando exatamente uma vez por todos os demais vértices onde a soma dos custos das arestas usadas na visitação seja mínima.
   
   Seja Z^* o custo de uma visitação de custo mínimo.
   
   
   1. O custo da árvore geradora de G é maior, menor ou igual a Z^* ?
   2. Dado que um conjunto de arestas E1 tem que ser todo usado na visitação e que um conjunto de arestas E0 não pode ser usado, sugira uma forma de estimar o menor custo que essa visitação pode ter.
   3. O custo da visitação 1 ® 2 ® ... ® n ® 1 é maior, menor ou igual a Z^* ?
   
   
10. Seja o Problema da Árvore Geradora com Restrições de Capacidade:
    
    (CAP-MST): Dado um grafo G=(V È { r }, E), custos c(i,j) ³ 0 associadas às arestas (i,j) em E, demandas q(v) associados aos vértices v em V, e uma capacidade Q. Deseja-se encontrar uma árvore geradora de G, cujas sub-árvores enraizadas no vértice r possuam a soma das demandas dos seus vértices inferiores ou iguais à Q, cujo custo total de suas arestas seja mínimo. Considere a seguinte estrutura de dados para representar uma solução:
    
    
    • Un vetor com n=|V| posições que indica em que árvore o vértice v está. Isto é, A[v]=k significa que o vértice v está na árvore k.
    
    
    1. Escreva um algoritmo para determinar se uma solução representada por um vetor A é viável. Analise sua complexidade.
    2. Escreva um algoritmo para determinar o valor da solução representada por A. Analise a sua complexidade.
    3. Considere que um vértice pode pertencer à n árvores diferentes, logo A[v] Î {1, ..., n } para v=1, ..., n. Supondo que uma vizinhança de uma solução arbitrária A é definida como todas as soluções em que somente um vértice troca de árvore, investigar a vizinhança de A é equivalente à avaliar o valor da solução representada por A onde modifica-se somente o valor do elemento A[v] onde este assume os valores k=1, ..., n, k ¹ v, para v=1, ..., n.
       1. Qual é a complexidade do algoritmo para encontrar a solução vizinha de menor valor, caso seja calculada o valor da solução de casa solução vizinha ?
       2. Esta complexidade pode ser reduzida ? No caso afirmativo, proponha um algoritmo com complexidade menor.

This document was translated from L^AT_EX by H^EV^EA.